Sinh ra ở Wythenshawe , Palmer đã gia nhập U-18 Manchester City và trở thành đội trưởng vào mùa giải 2019–20.[3]

Vào ngày 30 tháng 9 năm 2020, Palmer có trận ra mắt đội 1 của Manchester City trong chiến thắng 3–0 trên sân khách trước Burnley tại vòng 4 EFL Cup.[4] Vào ngày 21 tháng 9 năm 2021, Palmer ghi bàn thắng đầu tiên trong chiến thắng 6–1 trên sân nhà trước Wycombe Wanderers tại EFL Cup.[5] Vào ngày 16 tháng 10, Palmer xuất hiện trong trận đấu với Burnley ở Premier League, anh đã có một hat-trick cho đội bóng U-23 của Manchester City ngay trong đêm đó.[6] Vào ngày 19 tháng 10, Palmer ghi bàn thắng đầu tiên tại UEFA Champions League trong chiến thắng 5–1 trên sân khách trước Club Brugge.[7] Vào ngày 7 tháng 1 năm 2022, Palmer ghi bàn trong trận đấu đầu tiên của anh chơi tại FA Cup trong chiến thắng 4–1 trên sân khách trước Swindon Town của League Two.[8]